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钱叶涛老师公开课《数系的扩充和复数的概念教案》

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311数系的扩充和复数的概念教案

 

教学目标:

1.了解引进复数的必要性,了解数系的扩充过程。

2.体会实际需要与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用及数与现实世界的联系。

3.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件

教学重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念。

教学难点:学生对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,对理解复数是一对有序实数不习惯,故而对复数概念的理解有一定困难。

授课类型:新授课

课时安排:1课时

 

教学基本流程

一、问题引入:

1.原始社会的人知道1234吗?知道-2 吗?(让学生思考后发现以下:

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1234等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集n

随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集q.显然n q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集z,则有z qn z.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集

有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集r.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集

因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾。

2. 2x=1有解吗?(学生很容易说有解,引导学生认识到是整数集中无解,分数集有解

x2=3有解吗?(有理数集中无解,无理数集中有解

x2=-1呢?(实数集中无解,那么类比一下在什么集中有解呢?)

二、讲解新课:

问题1.分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集r以后,但像x2=1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.那怎么办?能否类比一下人们为解决x2=3在有理数集无解,而创设了符号 ,并令 的平方为3,且无理数 和以前的有理数仍然自如的加减乘除这一思想,来定义一个新的符号使其平方为-1呢?(停顿,让学生思考。。。)

人们引入了一个新数 ,让 的平方为-1

板书:令    

 那么平方为-4的数是什么呢?(2 ),新数 很好的解决了平方为负数的方程解的问题。

问题2. 依上述思想新数 应能自如地和实数进行加、乘运算,

1)实数a和新数 相加我们记作a i

2)实数b和新数 相乘我们记作b

3)实数a与实数b和新数 相乘的结果相加我们记作a bi

  那么你发现上述三个结果是一个实数加另一实数倍的 的形式,即 吗?

问题3.由此我们不难发现数集范围得到了扩大,实数集被扩充到一个新数集c,那么新数集c如何描述呢?(引导学生思考、交流、确认)

给出结果:c=a b a, r

引入概念:(1c叫做复数集。

2 叫做虚数单位。

3)复数z= 是复数z的代数形式,其中a叫做实部,b叫做虚部。

4)虚部不为0叫做虚数,实部为0且虚部不为0的复数叫做纯虚数,虚部为0的复数是实数.

          

规定:两复数相等的充要条件是两复数的实部对应相等,虚部对应相等。

即如果abcdr,那么a bi=c di       a=cb=d

思考:复数集c和实数集r之间有什么关系呢?

结果:(1)实数集r是复数集c的真子集。

     2)复数集与其它数集之间的关系:n z q r c

三、例题讲解:

例题1:复数-2i 3.14的实部和虚部是什么?(答:实部是3.14,虚部是-2.

 

例题2:实数m取什么数值时,复数z=m 1 (m1)i:

(1)实数?  (2)虚数?  (3)纯虚数?

[分析]因为mr,所以m 1m1都是实数,可由复数z=a bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.

解:(1)m1=0,即m=1时,复数z是实数;

(2)m10,即m1时,复数z是虚数;

(3)m 1=0,且m10时,即m=1时,复数z是纯虚数.

 

例题3

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